등비수열 계산기
첫째 항과 공비, 또는 알고 있는 두 항으로 등비수열의 모든 항을 나열하고 N번째 항과 합을 계산합니다 — 분수·소수·음수 공비도 그대로 계산됩니다.
5/2 같은 분수도 입력할 수 있습니다.
2, 6, 18, 54
54
80
이 등비수열 계산기가 하는 일
첫째 항, 공비, 그리고 원하는 항의 개수를 입력하면 수열 전체를 즉시 나열하고, N번째(마지막) 항을 보여 주며, 모든 항을 더한 합까지 계산해 줍니다. 등비수열은 바로 앞 항에 같은 수, 즉 공비를 곱해 다음 항을 만드는 수의 나열로, 예를 들어 2, 6, 18, 54처럼 공비가 3인 형태입니다. 공비가 1보다 크면 커지는 수열, 0과 1 사이이면 줄어드는 수열, 음수이면 부호가 번갈아 바뀌는 수열이 되며, 첫째 항과 공비 모두 소수나 1/2 같은 분수를 입력할 수 있습니다. 두 항을 알고 있다면 "입력 방식"을 "알고 있는 두 항"으로 바꾸면 공비와 첫째 항을 거기서 구해 줍니다. 앞 항에 같은 수를 곱하는 대신 같은 값을 더해 가는 수열이라면 등차수열 계산기를 쓰세요.
결과를 계산하는 공식
N번째 항은 a₁ × r^(N − 1) 공식으로 바로 구하므로 모든 곱셈 단계를 거치지 않고도 마지막 항의 값을 얻습니다. 합은 등비수열의 합 공식 a₁ × (r^N − 1) / (r − 1)로 계산하며, 공비가 정확히 1이면 모든 항이 같으므로 합은 단순히 a₁ × N 이 됩니다. 이 경우는 0으로 나누는 것을 피하기 위해 별도로 처리합니다. 입력하는 즉시 결과가 갱신되며, 각 결과마다 복사 버튼이 있습니다. "풀이"에는 입력한 숫자를 넣은 공식이 나오고, 항을 그린 그래프가 수열이 커지는지, 0에 가까워지는지, 진동하는지, 일정한지를 알려 줍니다. "소수 자릿수"로 모든 항과 답을 원하는 자리까지 반올림하고, "나열을 시작할 항 번호"를 정하면 a_k부터 a_N까지만 나열하며 그 구간의 합도 따로 보여 줍니다. “처음 값으로 되돌리기”는 모든 칸을 페이지가 처음 열릴 때의 값으로 되돌립니다. 목록을 읽기 쉽고 빠르게 유지하기 위해 항의 개수는 1000까지로 제한됩니다.
자주 묻는 질문
N번째 항과 합은 어떻게 다른가요?
N번째 항은 값 하나로 a₁ × r^(N − 1) 입니다. 합은 그 항까지 모두 더한 a₁ × (r^N − 1) ÷ (r − 1) 인데, 공비가 정확히 1이면 0으로 나누게 되므로 a₁ × N 으로 계산합니다.
공비가 음수이거나 분수, 또는 정확히 1이어도 되나요?
네. 공비가 음수이면 부호가 번갈아 바뀌고, 0과 1 사이이면 수열이 0에 가까워지며 줄어들고, 공비가 정확히 1이면 첫째 항이 반복되어 합이 첫째 항 × N 이 됩니다.
'무한 합'은 무엇인가요?
공비가 −1과 1 사이(|r| < 1)이면 항이 0에 수렴해, 항이 무한히 많아도 급수가 유한한 값 a₁ / (1 − r)로 수렴합니다. 이 경우에만 '무한 합' 행이 표시됩니다 — 첫째 항 1, 공비 1/2이면 2가 됩니다. |r| ≥ 1이면 급수가 발산하므로 행이 숨겨집니다.
알고 있는 두 항으로 공비를 구할 수 있나요?
됩니다. "입력 방식"을 "알고 있는 두 항"으로 바꾸고 "위치 p"·"p번째 항"·"위치 q"·"q번째 항"을 넣으면 공비는 a_q ÷ a_p의 (q − p)제곱근으로, 첫째 항은 그 공비로 구하며, "풀이"에 두 줄이 입력한 숫자와 함께 나옵니다. 두 항이 짝수 칸 떨어져 있으면 음의 공비도 똑같이 맞으므로 그렇다고 알려 주고, 0인 항이나 부호가 반대인데 짝수 칸 떨어진 두 항처럼 실수 공비가 없는 경우는 이유와 함께 거부합니다.
수열 일부만 나열하거나 답을 반올림할 수 있나요?
됩니다. "나열을 시작할 항 번호"를 정하면 a_k부터 a_N까지만 나열하고 그 구간의 합을 따로 구하며, "소수 자릿수"로 모든 항과 답을 원하는 자리까지 반올림하거나 입력한 그대로 둘 수 있습니다.