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이차방정식 풀이 계산기

ax² + bx + c = 0의 근·판별식·꼭짓점을 구하고, 근과 꼭짓점을 표시한 포물선 그래프를 그리며, 근의 공식에 값을 대입하는 과정을 한 줄씩 보여 줍니다.

방정식:  x² − 3x + 2 = 0
판별식:  1
근의 종류:  서로 다른 두 실근
근:  2,  1
꼭짓점:  (1.5, -0.25)
대칭축:  x = 1.5
두 근의 합:  3
두 근의 곱:  2
y절편:  (0, 2)
포물선:  아래로 볼록 (a > 0), 꼭짓점에서 가장 낮음; x축과 두 근에서 만남

그래프

풀이 과정

판별식
D = b² − 4ac = (−3)² − 4·1·2 = 1
판별식의 제곱근
√D = 1
근의 공식에 대입
x = (3 ± 1) / 2
따라서
x₁ = 2, x₂ = 1
완전제곱식으로 고치기
(x − 1.5)² − 0.25
인수분해
(x − 2)(x − 1)

답, 그리고 그 답이 속한 모양

세 계수를 입력하면 근, 판별식, 근의 종류, 꼭짓점, 두 근의 합과 곱이 입력하는 즉시 나옵니다. 끝에는 y절편과 포물선이 아래로 볼록인지 위로 볼록인지, x축을 지나는지·꼭짓점에서 닿는지·만나지 않는지가 나오고, "처음 값으로"는 페이지가 처음 열릴 때의 식으로 되돌립니다. 그 아래에는 입력한 숫자 그대로의 비율로 포물선을 그리고, 곡선이 x축과 만나는 자리에 근을, 방향이 바뀌는 자리에 꼭짓점을 표시합니다. 부호를 하나 잘못 넣으면 숫자 목록보다 그림에서 훨씬 먼저 눈에 띕니다.

내 숫자를 넣은 풀이 과정

과정을 생략하지 않고 적습니다. 계수를 대입한 판별식(D = b² − 4ac = (−3)² − 4·1·2 = 1), 그 제곱근, 값을 넣은 근의 공식, 거기서 나온 근, 그리고 같은 식을 완전제곱식으로 고친 형태까지. 마지막 줄인 a(x − h)² + k가 꼭짓점이 나오는 곳이고, 그래프가 실제로 보여 주고 있는 것이기도 합니다.

이차식이 아닐 때

a가 0이면 x² 항이 없어 포물선도 없으므로, 일차방정식을 풀고 그렇게 했다고 말해 줍니다. a와 b가 모두 0이면 모든 x가 해인지 해가 없는지를 알려 줍니다. 빈 칸은 0으로 읽지 않습니다 — 이차방정식을 말없이 일차방정식으로 바꾸는 대신, 어느 칸이 비었는지 알려 주고 기다립니다.

자주 묻는 질문

판별식은 무엇을 알려 주나요?

b² − 4ac이며, 그 부호로 근의 종류가 정해집니다. 양수면 곡선이 x축을 두 번 지나 서로 다른 두 실근이 있고, 0이면 한 번 닿아 중근이며, 음수면 축에 닿지 않아 켤레 복소근이 됩니다. 대입 과정이 화면에 나오므로 믿는 대신 직접 확인할 수 있습니다.

그래프도 볼 수 있나요?

네. 답 아래에 입력한 식에 맞춘 포물선을 그리고, 실근마다 점을, 꼭짓점에 원을 표시합니다. 실근이 없으면 곡선이 x축에서 떨어진 채로 그려지는데, 그것이 바로 실근이 없다는 뜻입니다.

풀이 과정도 나오나요?

네 — 대입한 판별식, 그 제곱근, 내 숫자를 넣은 근의 공식, 거기서 나온 근, 그리고 완전제곱식으로 고친 식까지. 위의 답이 나온 것과 똑같은 계산입니다.

a가 0이면 어떻게 되나요?

이차방정식이 아니게 됩니다. 그럴 때는 bx + c = 0을 풀고 결과에 일차방정식이라고 표시합니다. 칸을 비워 두는 것은 또 다른 경우로, 0으로 짐작하는 대신 어느 칸이 비었는지 알려 줍니다.

정확한 근과 대칭축도 알려 주나요?

네. 근이 무리수이면 제곱근을 쓴 정확한 꼴을 소수와 함께 보여 주고, 대칭축을 적고 그래프에도 그립니다. 풀이는 인수분해 꼴로 끝납니다.

포물선이 어느 쪽으로 볼록한지, y축과 어디서 만나는지도 알려 주나요?

네. 답 끝에 y절편 (0, c)와 함께, 포물선이 아래로 볼록인지 위로 볼록인지, 꼭짓점이 가장 낮은 점인지 높은 점인지, x축을 두 근에서 지나는지·꼭짓점에서 닿는지·만나지 않는지가 나옵니다.

그래프를 숙제나 발표 자료용으로 저장할 수 있나요?

네. 포물선 아래 “그래프 내려받기 (SVG)”는 벡터 파일로, “그래프 내려받기 (PNG)”는 선명하도록 두 배 해상도로 그린 이미지로 저장합니다. 둘 다 페이지 테마와 상관없이 흰 바탕에 정해진 색을 쓰고, 곡선 위에 식을 적으며, 화면의 그래프와 같은 근·꼭짓점·축을 보여 줍니다.